Résistance et impédance dans un circuit CA

Vous voulez créer un site ? Trouvez des thèmes et des plugins WordPress gratuits. Les relations i-v des résistances, des condensateurs et des inductances peuvent être exprimées en notation de phase. En tant que phaseurs, chaque relation iv prend la forme d'une loi d'Ohm généralisée : V=IZV=IZ où la quantité de phaseur Z est appelée impédance. Pour une résistance, une inductance et un condensateur, les impédances sont respectivement : ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Les combinaisons de résistances, inductances et capacité peuvent être représentées par une seule impédance équivalente de la forme : Z(jω)=R(jω)+jX(jω)unités de (ohms)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)unités de Ω (ohms) Où R (jω) et X (jω) sont connus comme les parties « résistance » et « réactance », respectivement, de l'impédance équivalente Z. Les deux termes sont, en général, des fonctions de la fréquence . L'admittance est définie comme l'inverse de l'impédance. Y=1Zunités de S (Siemens)Y=1Zunités de S (Siemens) Par conséquent, toutes les relations et techniques des circuits CC introduites au chapitre 3 peuvent être étendues aux circuits CA. Ainsi, il n'est pas nécessaire d'apprendre de nouvelles techniques et formules pour résoudre les circuits AC ; il suffit d'apprendre à utiliser les mêmes techniques et formules avec des phaseurs. Loi d'Ohm généralisée Le concept d'impédance reflète le fait que les condensateurs et les inductances agissent comme des résistances dépendantes de la fréquence. La figure 1 représente un circuit alternatif générique avec une source de tension sinusoïdale VS phaseur et une charge d'impédance Z, qui est également un phaseur et représente l'effet d'un réseau générique de résistances, condensateurs et inductances. Figure 1 Le concept d'impédance Le courant résultant I est un phaseur déterminé par : V=IZLoi d'Ohm généralisée (1)V=IZLoi d'Ohm généralisée (1) Une expression spécifique pour l'impédance Z est trouvée pour chaque réseau spécifique de résistances, condensateurs et inducteurs reliés à la source. Pour déterminer Z, il faut d'abord déterminer l'impédance des résistances, des condensateurs et des inductances en utilisant : Z=VIDéfinition de l'impédance(2)Z=VIDéfinition de l'impédance(2) Une fois l'impédance de chaque résistance, condensateur et inductance dans un réseau est connu, ils peuvent être combinés en série et en parallèle (en utilisant les règles habituelles pour les résistances) pour former une impédance équivalente « vue » par la source. Impédance d'une résistance La relation iv pour une résistance est, bien sûr, la loi d'Ohm, qui dans le cas des sources sinusoïdales s'écrit (voir Figure 2) : Figure 2 Pour une résistance, VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) ou, sous forme de phaseur, VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR Où VR=VRejθtVR=VRejθt et IR=IRejθtIR=IRejθt sont phaseurs. Les deux côtés de l'équation ci-dessus peuvent être divisés par ejωt pour donner : VR=IRR(4)VR=IRR(4) L'impédance d'une résistance est alors déterminée à partir de la définition de l'impédance : ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Donc : ZR = R Impédance d'une résistance L'impédance d'une résistance est un nombre réel ; c'est-à-dire qu'il a une amplitude R et une phase zéro, comme le montre la figure 2. La phase de l'impédance est égale à la différence de phase entre la tension aux bornes d'un élément et le courant à travers le même élément. Dans le cas d'une résistance, la tension est complètement en phase avec le courant, ce qui signifie qu'il n'y a pas de retard ou de décalage temporel entre la forme d'onde de tension et la forme d'onde de courant dans le domaine temporel. Figure 2 Diagramme de phase de l'impédance d'une résistance. N'oubliez pas que Z=V/L Il est important de garder à l'esprit que les tensions et courants de phaseur dans les circuits alternatifs sont fonction de la fréquence, V = V (jω) et I = I (jω). Ce fait est crucial pour déterminer l'impédance des condensateurs et des inductances, comme indiqué ci-dessous. Impédance d'une inductance La relation iv pour une inductance est (voir Figure 3) : Figure 3 Pour une inductance vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6) À cette point, il est important de procéder avec prudence. L'expression dans le domaine temporel du courant traversant l'inductance est : iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) Tel que ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Notez que l'effet net de la dérivée temporelle est de produire un supplément ( j ω) ainsi que l'expression exponentielle complexe de iL(t). C'est-à-dire : Domaine temporel Domaine fréquentiel d/dtd/dt jωjω Par conséquent, le phaseur équivalent de la relation iv pour une inductance est : VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) L'impédance de une inductance est alors déterminée à partir de la définition de l'impédance : ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Soit : ZL=jωL=ωL∠π2 Impédance d'une inductance (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impédance d'une inductance (10) L'impédance d'une inductance est un nombre positif, purement imaginaire ; c'est-à-dire qu'il a une amplitude de ωL et une phase de π/2 radians ou 90◦, comme le montre la figure 4. Comme précédemment, la phase de l'impédance est égale à la différence de phase entre la tension aux bornes d'un élément et le courant à travers le même élément. Dans le cas d'une inductance, la tension est en avance sur le courant de /2 radians, ce qui signifie qu'une caractéristique (par exemple, un point de passage par zéro) de la forme d'onde de tension se produit T /4 secondes plus tôt que la même caractéristique de la forme d'onde de courant. T est la période commune. Notez que l'inducteur se comporte comme une résistance complexe dépendante de la fréquence et que sa grandeur ωL est proportionnelle à la fréquence angulaire ω. Ainsi, une inductance « entravera » le flux de courant proportionnellement à la fréquence du signal source. Aux basses fréquences, une inductance agit comme un court-circuit ; aux hautes fréquences, il agit comme un circuit ouvert. Figure 4 Diagramme de phase de l'impédance d'une inductance. N'oubliez pas que Z=V/L Impédance d'un condensateur Le principe de dualité suggère que la procédure pour dériver l'impédance d'un condensateur doit être une image miroir de la procédure indiquée ci-dessus pour un inducteur. La relation iv pour un condensateur est (voir Figure 5) : Figure 5 Pour un condensateur iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) L'expression dans le domaine temporel pour la tension aux bornes du condensateur est : vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) Tel que ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωcos⁡(ωt+ θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Notez que l'effet net de la dérivée temporelle est de produire un terme supplémentaire ( j ω) avec le expression exponentielle complexe de vC(t). Par conséquent, l'équivalent de phaseur de la relation iv pour un condensateur est : IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) L'impédance d'une inductance est alors déterminée à partir de la définition de l'impédance : ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Ainsi : ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15) L'impédance d'un condensateur est un nombre négatif, purement imaginaire ; c'est-à-dire qu'il a une magnitude de 1/ωC ​​et une phase de −π/2 radians ou −90o, comme le montre la figure 6. Comme précédemment, la phase de l'impédance est égale à la différence de phase entre la tension aux bornes d'un élément et le courant à travers le même élément. Dans le cas d'un condensateur, la tension est en retard sur le courant de /2 radians, ce qui signifie qu'une caractéristique (par exemple, un point de passage par zéro) de la forme d'onde de tension se produit T/4 secondes plus tard que la même caractéristique de la forme d'onde de courant . T est la période commune de chaque forme d'onde. Figure 6 Diagramme de phase de l'impédance d'un condensateur. Rappelez-vous que Z=V/L Notez que le condensateur se comporte également comme une résistance complexe dépendante de la fréquence, sauf que sa grandeur 1/ωC ​​est inversement proportionnelle à la fréquence angulaire ω. Ainsi, un condensateur « gênera » le passage du courant en proportion inverse de la fréquence de la source. Aux basses fréquences, un condensateur agit comme un circuit ouvert ; aux hautes fréquences, il agit comme un court-circuit. Impédance généralisée Le concept d'impédance est très utile pour résoudre les problèmes d'analyse des circuits AC. Il permet aux théorèmes de réseau développés pour les circuits CC d'être appliqués aux circuits CA. La seule différence est que l'arithmétique complexe, plutôt que l'arithmétique scalaire, doit être utilisée pour trouver l'impédance équivalente. La figure 7 représente ZR(jω), ZL(jω) et ZC(jω) dans le plan complexe. Il est important de souligner que bien que l'impédance des résistances soit purement réelle et que l'impédance des condensateurs et des inductances soit purement imaginaire, l'impédance équivalente vue par une source dans un circuit arbitraire peut être complexe. Figure 7 Les impédances de R, L et C sont représentées dans le plan complexe. Les impédances du quadrant supérieur droit sont inductives tandis que celles du quadrant inférieur droit sont capacitives. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Ici, R est la résistance et X est la réactance. L'unité de R, X et Z est l'ohm. Admission Il a été suggéré que la solution de certains problèmes d'analyse de circuit était traitée plus facilement en termes de conductance que de résistances. Cela est vrai, par exemple, lorsque l'on utilise l'analyse de nœuds ou dans des circuits avec de nombreux éléments parallèles, car la conductance en parallèle s'additionne comme le font les résistances en série. Dans l'analyse des circuits alternatifs, une quantité analogue peut être définie : l'inverse de l'impédance complexe. Tout comme la conductance G a été définie comme l'inverse de la résistance, l'admittance Y est définie comme l'inverse de l'impédance : Y=1Zunités de S (Siemens)(17)Y=1Zunités de S (Siemens)(17) réel, l'admittance Y est identique à la conductance G. En général, cependant, Y est complexe. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) où G est la conductance AC et B est la susceptance, ce qui est analogue à la réactance. Clairement, G et B sont liés à R et X ; cependant, la relation n'est pas un simple inverse. Si Z = R + jX , alors l'admittance est : Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe Z ̄ = R − jX : Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) et conclure que G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Remarquez en particulier que G n'est pas l'inverse de R dans le cas général ! Avez-vous trouvé apk pour android?

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