Qu'est-ce que la loi de Gauss : formule et sa dérivation

L'étude de la charge électrique et du flux électrique avec la surface est la loi de Gauss. C'est l'une des lois fondamentales de l'électromagnétisme, qui s'applique à tout type de surface fermée connue sous le nom de surface gaussienne. Cette loi est expliquée et publiée par un mathématicien allemand et la loi physique Karl Friedrich Gauss en 1867. Elle décrit la relation entre l'intensité du champ électrique d'une surface et la charge électrique totale contenue par cette surface. Cet article donne un aperçu de la loi de Gauss dans les diélectriques et la magnétostatique avec une expression mathématique. permittivité. D'après cette loi, le flux total lié à une surface fermée est 1/E0 fois le changement enfermé par une surface fermée. Le flux électrique dans une aire désigne le produit du champ électrique et de l'aire de la surface projetée dans un plan et perpendiculaire au champ. Formule de la loi de Gauss Selon cette loi, la charge totale enfermée dans une surface fermée est proportionnelle au flux total enfermé par la surface. Considérons si, est le flux total et E0 est la constante électrique, alors la charge électrique totale Q entourée par la surface fermée peut être exprimée comme suitQ= ΦE0Par conséquent, la formule de la loi de Gauss peut être exprimée comme ci-dessous ΦE= Q/E0Où, Q= Charge totale à l'intérieur de la surface donnée, E0 est la constante électrique. Ce concept est simple et il peut être compris très facilement en considérant le diagramme de la loi de Gauss montré dans la figure ci-dessous. Le flux électrique total à travers la surface fermée dépend des charges de la surface fermée et les charges à l'extérieur de la surface ne contiennent aucun flux. La forme de la surface est considérée arbitrairement. Puisque le flux électrique total est indépendant de l'emplacement des charges à l'intérieur de la surface fermée. Cette surface imaginaire est appelée surface gaussienne, qui dépend de la configuration des charges et du type de symétrie qui existe dans la configuration des charges. Des surfaces principalement cylindriques et planes sont choisiesDiagramme de la loi de Gauss Unité SI de la loi de Gauss L'unité SI de la loi de Gauss est donnée ci-dessous. Si le champ électrique est constant, le flux électrique traversant la surface de l'aire vectorielle S est E = E .S = ES Cos ө le flux électrique à travers une petite surface dS est donné par d ΦE = E. dSWoù E = Champ électriquedS = surface différentielle sur une surface fermée Le flux électrique a des unités SI de voltmètres (V m) Un champ électrique est une région de l'espace autour d'une particule chargée ou entre deux tensions ; il exerce une force sur les objets chargés dans son voisinage.L'expression mathématique de la loi de GaussSelon la loi de Gauss, le flux total dans une surface fermée est 1/E0 fois la charge confinée par une surface fermée.∮E. ds = (1/ E0) qPour une instance, une charge ponctuelle q est positionnée dans une arête de cube. Ensuite, selon la loi de Gauss, le flux généré à travers chaque face d'un cube est q/6 E0. Selon cette loi, la charge totale enfermée dans une surface fermée est proportionnelle au flux total enfermé par la surface. Considérez si, est le total flux et E0 est la constante électrique, alors la charge électrique totale Q entourée par la surface fermée peut être exprimée comme suitQ= Φ E0Par conséquent, la formule de la loi de Gauss peut être exprimée comme ci-dessousΦE= Q/E0Où, Q= Charge totale dans la surface donnée, E0 est la constante électrique Dérivation La dérivation de la loi de Gauss est donnée ci-dessous. Dérivation de la loi de Gauss en utilisant la loi de Coulombs, CAS 1 : Surface sphérique renfermant une charge ponctuelle unique Supposons que nous ayons une seule charge ponctuelle stationnaire avec une magnitude de EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA= q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0CASE 2 : Surface irrégulière enfermant la même charge ponctuelleLaisse le même type de lignes de champ traverser la surface A1 et A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0Loi de Gauss dans les diélectriquesConsidérez un condensateur à plaques parallèles avec une surface égale A et une densité de charge et il y aura un vide entre les plaques. Le schéma suivant explique cette loi dans les diélectriques entre les deux plaques parallèles. Ensuite, nous pouvons évaluer le vecteur de champ E0 dans la région entre les plaques en utilisant la loi de Gauss.Loi de Gauss dans les diélectriquesConsidérons une surface gaussienne de forme cuboïde et une face est gaussienne, le flux ne la traversera pas, puis le flux ne passera pas par la face perpendiculaire à cette face. Par conséquent, le flux ne passera que par la face parallèle à la plaque positive. Considérez la constante E0 de la surface gaussienne et ө est l'angle entre le vecteur de champ et le vecteur de surface ∯S E0. dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0AHere q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/ E0Gauss Loi de la magnétostatiqueCette loi du magnétisme s'applique au flux magnétique à travers une surface fermée. Dans ce cas, le vecteur de zone pointe depuis la surface. Étant donné que les lignes de champ magnétique sont des boucles continues, toutes les surfaces fermées ont autant de lignes de champ magnétique entrantes que sortantes. Par conséquent, le flux magnétique net à travers la surface fermée est nul. Flux net = B. dA = 0 Par conséquent, la somme nette de tous les courants dans la surface fermée est nulle. La loi de Gauss pour les charges était une méthode très utile pour calculer les champs électriques dans des situations très symétriques. La loi de Gauss pour la magnétostatique est très rarement utilisée. Signification Cette section vous permettra d'expliquer clairement la signification de la loi de Gauss. L'énoncé de la loi de Gauss est correct et adapté à toute surface fermée indépendamment de la taille ou de la forme de l'objet particulier. Le terme Q dans la formule de la loi de Gauss indique la somme de toutes les charges qui sont complètement enfermées dans l'objet, quelle que soit la position du charge sur la surface. Dans certaines des surfaces sélectionnées, il existe à la fois des charges internes et externes d'un champ électrique. La surface sélectionnée pour la fonctionnalité de la loi de Gauss est appelée surface gaussienne, mais cette surface ne doit pas traverser de charges isolées. Ceci est principalement utilisé pour l'analyse simplifiée du champ électrostatique dans le cas où le système détient un certain équilibre . Cela ne se produira que lorsque nous choisirons une surface gaussienne exacte.Exemples1). Une surface gaussienne fermée dans l'espace 3D où le flux électrique est mesuré. Pourvu que la surface gaussienne soit sphérique qui est entourée de 40 électrons et a un rayon de 0.6 mètre.Calculer le flux électrique qui traverse la surfaceTrouver le flux électrique ayant une distance de 0.6 mètre au champ mesuré à partir du centre de la surface.Savoir la relation qui existe entre la charge enfermée et le flux électrique.RéponseAvec la formule du flux électrique, la charge nette qui est enfermée dans la surface peut être calculée. Ceci peut être réalisé par multiplication de charge pour l'électron avec tous les électrons qui apparaissent à la surface. En utilisant cela, la permittivité de l'espace libre et le flux électrique peuvent être connus. du flux électrique et exprimant l'aire selon le rayon peut être utilisé pour calculer le champ électrique.Ф = EA = 0 * 40-1.60 Newton*mètre/CoulombE = (10 * 19–)/A= (8.85 * 10–)/ 12∏(7.42)10Comme le flux électrique a une proportion directe avec la charge électrique enfermée, cela signifie que lorsque la charge électrique à la surface augmente, le flux qui la traverse sera également amélioré.AvantagesLes avantages de la loi de Gauss sont les suivants suitPar rapport à la loi de Coulombs, il fournit une direction de force spécifique avec une précision appropriée avec ses cas généraux appropriés. Le théorème de Gauss est plus efficace dans tous les objets et surfaces fermés dans le but de trouver un champ électrique et il fonctionnera également efficacement dans le processus de distribution par rapport avec la loi de Coulombs.InconvénientsLes inconvénients de la loi de Gauss sont comme f ollowsLa limitation de la loi de Gauss est qu'elle ne calculera le champ électrique que dans certains cas particuliers. Nous ne pouvons pas utiliser la loi de Gauss dans le calcul du champ dû au dipôle électrique.ApplicationsSuivant les applications importantes de la loi de GaussCeci est le plus utile pour résoudre des problèmes électrostatiques complexes impliquant des symétries uniques telles que la symétrie cylindrique, sphérique ou planaire.Cela peut être très utile pour calculer l'intensité du champ en raison d'un fil infiniment long uniformément chargé. Si la distribution de charge manque de symétrie d'application, dans ces cas, nous pouvons utiliser cette loi pour calculer les champs de charge ponctuels des éléments de charge individuels qui sont présents dans l'objet simplifier l'évaluation du champ électrique simplement et facilement. Dans certaines situations complexes, où le calcul du champ électrique est complexe, alors cette loi est utilisée sous forme intégrale. Ainsi, il s'agit d'un aperçu de la loi de Gauss - définition , formule, unité SI, expression mathématique, dérivation, diagramme, en diélectrique, en magnétostatique, signification, exemples avec solutions, avantage es, ses inconvénients et ses applications.

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